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比特币跨市场套利的数学模型

2024-01-31121 阅读0 评论

为了方便起见,合约乘数设置为 1。交易所 A 交易更加活跃,价格变化快于 B。

符号定义

符号 含义
\(p\) 交易所 A 比特币价格
\(p + \Delta\) 交易所 B 比特币价格
\(p'\) 交易所 A 和 B 比特币收敛价格
\(r_A\) 交易所 A maker 费率
\(r_A'\) 交易所 A taker 费率
\(r_B\) 交易所 B maker 费率
\(r_B'\) 交易所 B taker 费率

币本位合约

交易所 A 比特币价格低于交易所 B

此时 \(\Delta > 0\),在交易所 A 做多 1 合约比特币,在交易所 B 做空 1 合约比特币,平仓时:

交易所 A 做多(maker)的损益:

\[ g_A = \frac{1}{p} - \frac{1}{p'} - \frac{r_A}{p} - \frac{r_A'}{p'} \]

交易所 B 做空(taker)的损益:

\[ g_B = \frac{1}{p'} - \frac{1}{p + \Delta} - \frac{r_B'}{p + \Delta} - \frac{r_B'}{p'} \]

总损益:

\[ g = g_A + g_B = \frac{1}{p} - \frac{1}{p'} - \frac{r_A}{p} - \frac{r_A'}{p'} + \frac{1}{p'} - \frac{1}{p + \Delta} - \frac{r_B'}{p + \Delta} - \frac{r_B'}{p'} \\ = \frac{1 - r_A}{p} - \frac{r_A' + r_B'}{p'} - \frac{1 + r_B'}{p + \Delta} \]

\(g > 0\),则:

\[ g = \frac{1 - r_A}{p} - \frac{r_A' + r_B'}{p'} - \frac{1 + r_B'}{p + \Delta} > 0 \]

解得:

\[ \Delta > \frac{1 + r_B'}{\frac{1 - r_A}{p} - \frac{r_A' + r_B'}{p'}} - p \]

\(p' = kp\),带入上式得:

\[ \Delta > \frac{1 + r_B'}{\frac{1 - r_A}{p} - \frac{r_A' + r_B'}{kp}} - p = (\frac{1 + r_B'}{1 - r_A - \frac{r_A' + r_B'}{k}} - 1)p \]

交易所 A 比特币价格高于交易所 B

此时 \(\Delta < 0\),在交易所 A 做空 1 合约比特币,在交易所 B 做多 1 合约比特币,平仓时:

交易所 A 做空(maker)的损益:

\[ g_A = \frac{1}{p'} - \frac{1}{p} - \frac{r_A}{p} - \frac{r_A'}{p'} \]

交易所 B 做多(taker)的损益:

\[ g_B = \frac{1}{p + \Delta} - \frac{1}{p'} - \frac{r_B'}{p + \Delta} - \frac{r_B'}{p'} \]

总损益:

\[ g = g_A + g_B = \frac{1}{p'} - \frac{1}{p} - \frac{r_A}{p} - \frac{r_A'}{p'} + \frac{1}{p + \Delta} - \frac{1}{p'} - \frac{r_B'}{p + \Delta} - \frac{r_B'}{p'} \\ = \frac{1 - r_B'}{p + \Delta} - \frac{1 + r_A}{p} - \frac{r_A' + r_B'}{p'} \]

\(g > 0\),则:

\[ g = \frac{1 - r_B'}{p + \Delta} - \frac{1 + r_A}{p} - \frac{r_A' + r_B'}{p'} > 0 \]

解得:

\[ \Delta < \frac{1 - r_B'}{\frac{1 + r_A}{p} + \frac{r_A' + r_B'}{p'}} - p \]

\(p' = kp\),带入上式得:

\[ \Delta < \frac{1 - r_B'}{\frac{1 + r_A}{p} + \frac{r_A' + r_B'}{kp}} - p = (\frac{1 - r_B'}{1 + r_A + \frac{r_A' + r_B'}{k}} - 1)p \]

或:

\[ -\Delta > (1 - \frac{1 - r_B'}{1 + r_A + \frac{r_A' + r_B'}{k}})p \]

两种情况总结如下表:

\(p < p + \Delta\) \(\Delta > (\frac{1 + r_B'}{1 - r_A - \frac{r_A' + r_B'}{k}} - 1)p\)
\(p > p + \Delta\) \(-\Delta > (1 - \frac{1 - r_B'}{1 + r_A + \frac{r_A' + r_B'}{k}})p\)

U 本位合约

Writing...

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