为了方便起见，合约乘数设置为 1。交易所 A 交易更加活跃，价格变化快于 B。
符号定义
| 符号 | 含义 |
|---|---|
| \(p\) | 交易所 A 比特币价格 |
| \(p + \Delta\) | 交易所 B 比特币价格 |
| \(p'\) | 交易所 A 和 B 比特币收敛价格 |
| \(r_A\) | 交易所 A maker 费率 |
| \(r_A'\) | 交易所 A taker 费率 |
| \(r_B\) | 交易所 B maker 费率 |
| \(r_B'\) | 交易所 B taker 费率 |
币本位合约
交易所 A 比特币价格低于交易所 B
此时 \(\Delta > 0\)，在交易所 A 做多 1 合约比特币，在交易所 B 做空 1 合约比特币，平仓时：
交易所 A 做多（maker）的损益：
\[
g_A = \frac{1}{p} - \frac{1}{p'} - \frac{r_A}{p} - \frac{r_A'}{p'}
\]
交易所 B 做空（taker）的损益：
\[
g_B = \frac{1}{p'} - \frac{1}{p + \Delta} - \frac{r_B'}{p + \Delta} - \frac{r_B'}{p'}
\]
总损益：
\[
g = g_A + g_B = \frac{1}{p} - \frac{1}{p'} - \frac{r_A}{p} - \frac{r_A'}{p'} + \frac{1}{p'} - \frac{1}{p + \Delta} - \frac{r_B'}{p + \Delta} - \frac{r_B'}{p'} \\ = \frac{1 - r_A}{p} - \frac{r_A' + r_B'}{p'} - \frac{1 + r_B'}{p + \Delta}
\]
令 \(g > 0\)，则：
\[
g = \frac{1 - r_A}{p} - \frac{r_A' + r_B'}{p'} - \frac{1 + r_B'}{p + \Delta} > 0
\]
解得：
\[
\Delta > \frac{1 + r_B'}{\frac{1 - r_A}{p} - \frac{r_A' + r_B'}{p'}} - p
\]
令 \(p' = kp\)，带入上式得：
\[
\Delta > \frac{1 + r_B'}{\frac{1 - r_A}{p} - \frac{r_A' + r_B'}{kp}} - p = (\frac{1 + r_B'}{1 - r_A - \frac{r_A' + r_B'}{k}} - 1)p
\]
交易所 A 比特币价格高于交易所 B
此时 \(\Delta < 0\)，在交易所 A 做空 1 合约比特币，在交易所 B 做多 1 合约比特币，平仓时：
交易所 A 做空（maker）的损益：
\[
g_A = \frac{1}{p'} - \frac{1}{p} - \frac{r_A}{p} - \frac{r_A'}{p'}
\]
交易所 B 做多（taker）的损益：
\[
g_B = \frac{1}{p + \Delta} - \frac{1}{p'} - \frac{r_B'}{p + \Delta} - \frac{r_B'}{p'}
\]
总损益：
\[
g = g_A + g_B = \frac{1}{p'} - \frac{1}{p} - \frac{r_A}{p} - \frac{r_A'}{p'} + \frac{1}{p + \Delta} - \frac{1}{p'} - \frac{r_B'}{p + \Delta} - \frac{r_B'}{p'} \\ = \frac{1 - r_B'}{p + \Delta} - \frac{1 + r_A}{p} - \frac{r_A' + r_B'}{p'}
\]
令 \(g > 0\)，则：
\[
g = \frac{1 - r_B'}{p + \Delta} - \frac{1 + r_A}{p} - \frac{r_A' + r_B'}{p'} > 0
\]
解得：
\[
\Delta < \frac{1 - r_B'}{\frac{1 + r_A}{p} + \frac{r_A' + r_B'}{p'}} - p
\]
令 \(p' = kp\)，带入上式得：
\[
\Delta < \frac{1 - r_B'}{\frac{1 + r_A}{p} + \frac{r_A' + r_B'}{kp}} - p = (\frac{1 - r_B'}{1 + r_A + \frac{r_A' + r_B'}{k}} - 1)p
\]
或：
\[
-\Delta > (1 - \frac{1 - r_B'}{1 + r_A + \frac{r_A' + r_B'}{k}})p
\]
两种情况总结如下表：
| \(p < p + \Delta\) | \(\Delta > (\frac{1 + r_B'}{1 - r_A - \frac{r_A' + r_B'}{k}} - 1)p\) |
|---|---|
| \(p > p + \Delta\) | \(-\Delta > (1 - \frac{1 - r_B'}{1 + r_A + \frac{r_A' + r_B'}{k}})p\) |
U 本位合约
Writing...
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